张野,数学中什么叫做“张量”?
对于数域 K 上的 n 维线性空间 V张野,当给定一组基 {ε₁, ε₂, ..., ε_n} 后,其中任意一个向量(也叫矢量) α 都对应唯一的坐标系数 (a₁, a₂, ..., a_n) 使得:
又有另外一个向量 β = b₁ε₁ + b₂ε₂ + ... + b_nε_n,将 α 和 β 自然相乘,有:
令,
则有:
称 ω 为 二阶(秩)张量,在 V 确定一组基 {ε₁, ε₂, ..., ε_n}后,对应 一个系数方阵 Z。
当然,这个定义是非常粗糙的,甚至有如下缺陷:
张量 和 向量对 并不一一对应,例如:下面的一组二维向量对
中任何一对之积都一样,即,
如果令 z_{ij} = a_i b_j 则 z_{ij} 会受到限制,例如:对应二维线性空间,有
于是,得到 z_{ij} 之间的比例关系:
显然
就不满足上面的比例关系。
因此,考虑脱离乘法而用 (1) 的形式直接定义张量,但是显然不能是任意 n² 个数就可以构成张量的系数矩阵,我们需要找到规律。
我们知道,n 维度线性空间中的向量 α ,其坐标向量 (a₁, a₂, ..., a_n) 是依赖于基 {ε₁, ε₂, ..., ε_n} 的,当基变为 {ε₁', ε₂', ..., ε_n'} 后就相应的变为 (a₁', a₂', ..., a_n')。若已知,{ε₁, ε₂, ..., ε_n} 到 {ε₁', ε₂', ..., ε_n'} 过渡矩阵是 T,即:
则,有:
于是,有:
等式两边左乘 (Tᵀ)⁻¹,整理后得到:
以上推导说明:向量 α 的坐标向量 虽然 随着基的不同而变化,但是向量 α 从未改变,是一个不变量,即:
并且,不同基下的坐标向量之间满足(2) 。
受此启发,分析:ω 的系数矩阵 Z = (z_{ij}) 也是依赖于基 {ε₁, ε₂, ..., ε_n} 的,当基变为 {ε₁', ε₂', ..., ε_n'} 后就相应的变为 Z' = (z_{ij}'),并且有:
于是,有:
等式两边左乘 (Tᵀ)⁻¹,右乘 T⁻¹,整理后得到:
于是,给出二阶张量的正式定义:
与 n 维线性空间 V 有关的量 ω,在线性空间 V 的基变化时,具有不变性,满足,
并且,不同基下的系数矩阵之间满足 (3),则称 ω 为 二阶张量。
依照以上思路我们可以定义三阶张量,这时系数矩阵就已经不够用了,于是我们只能老老实实用多项式表示,为了简化书写引入爱因斯坦和式:
在一项中同时出现两次的上下标 i 称为哑标表示该项是多项相加的缩写,只出现一次的 j 是自由标,禁止多于两次。
新设 V 中向量 γ = c₁ε₁ + c₂ε₂ + ... + c_nε_n 有:
令 ω = αβγ,z_{ijk} = a_ib_jc_k,则有(从这里开始使用爱因斯坦和式):
ω 就是三阶张量。
设 V 的基从{ε₁, ε₂, ..., ε_n} 变换到 {ε₁', ε₂', ..., ε_n'} 的过渡矩阵 T 以及其 转置逆阵 S 分别为:
则有:
在新基下,令 ω = z'_{ijk}ε'_iε'_jε'_k,于是有:
最终得到:
于是我们定义:
与 n 维线性空间 V 有关的量 ω,在线性空间 V 的基变化时,具有不变性,满足,
并且,不同基下分量之间满足 (4),则称 ω 为 三阶张量。
继续延续以上思路,可以将张量扩展到任意 p 阶。
对于 和 n 维线性空间 V 相关的量 ω,在 V 的基变化时,具有不变性,满足:
并且,不同基下分量之间满足:
则称 ω 为 p 阶张量。
注意到,当 p = 1 时有:
这和向量完全一致,因此 一阶张量 就是 向量,向量就是一阶张量。
规定,当 p = 0 时为:
即, 零阶张量 就是 标量。
线性空间 V 上的函数 f: V → K,如果满足线性:
f(α + β) = f(α) + f(β);
f(kα) = kf(α);
则称 f 为线性函数。定义线性函数的加法和数乘运算:
(f+g)(α) = f(α) + g(α);
(kf)(α) = kf(α);
可以证明 V 上的全体线性函数构成一个新的线性空间,称为 V 的对偶空间,记为 V*。
对于 V 中给定的基 {ε₁, ε₂, ..., ε_n} ,如果 V* 中的一组函数 {ε¹, ε², ..., ε^n} 使得:
注:δ_{ij} 称为 Kronecker 符号。可以证明 满足上式的 ε¹, ε², ..., ε^n 是 唯一的,并且 是V* 的一组基,称 {ε¹, ε², ..., ε^n} 是 {ε₁, ε₂, ..., ε_n} 的对偶基。
也就是说,对于 V* 中的任意线性函数 f ,有 f = a₁ε¹ + a₁ε² + ... + a_nε^n ,这和 V 中向量的性质完全相同。
当 V 的基变为 {ε’₁, ε'₂, ..., ε'_n} 对偶基变为 {ε'¹, ε'², ..., ε'^n} ,设, V 和 V* 中的过渡矩阵 分别为 T = (t_{ij}) 和 S = (s_{ij}),则有:
这说明 S(Tᵀ) = E 于是 S = (Tᵀ)⁻¹,S 和 T 互为转置逆阵。
同时,对于线性函数 f 又有:
于是,得到:
由此可见,V* 的坐标变换矩阵就是 V 的过渡矩阵 T。
综上可以得出:
考虑,V* 的对偶空间 V** ,定义映射: ψ: V → V**,对于 V 中任意元素 α 对应 V** 中的唯一元素 ψ(α) : V* → K,使得:
可证明 ψ 是线性同构,也就是 V ≌ V**,于是我们将 V** 和 V 当做同样的线性空间。这说明 V 和 V* 互为对偶空间,{ε₁, ε₂, ..., ε_n} 和 {ε¹, ε², ..., ε^n} 互为对偶基。
既然 V* 是线性空间,我们可以仿照 V 上定义 p 阶张量,在 V** 上定义 q 阶张量:
对于 和 n 维线性空间 V 的对偶空间 V* 相关的量 ω,在 V 的基变化(V* 中的对偶基跟着变化)时,具有不变性,满足:
并且,不同对偶基下分量之间满足:
则称 ω 为 q 阶张量。
因为 V** 上的 q 阶张量的坐标变换就是 V 过渡矩阵 T 的元素相乘,而 V 上的 p 阶张量的坐标变换时 过渡矩阵 的转置逆阵 S 的元素相乘,因此称 V** 上的 q 阶张量,为 q 阶协变张量,称 V 上的 p 阶张量 为 p 阶逆变张量。
最终,将 V* 和 V 混在一起定义混合型张量:
对于 和 n 维线性空间 V 以及 其对偶空间 V* 相关的量 ω,在 V 的基变化 以及 V* 中的对偶基跟着变化 时,具有不变性,满足:
并且,不同基和对偶基下分量之间满足:
则称 ω 为 (p,q) 型混和张量,p 为逆变阶数,q 为协变阶数。
在基确定的情况下,向量 和 坐标向量 一一对应,我们可以将坐标向量当做向量;同理,在基确定的情况下,(p, q) 型混合张量 和 一组数 {z_{i₁i₂...i_pj₁j₂...j_q}} 一一对应,我们可以将 这组数 当做张量。于是有如下张量的第二种定义:
对于 n 维线性空间 V 以及对偶空间 V*,对于任意给定 的基 {ε₁, ε₂, ..., ε_n} 指定 n^{p+q} 个数 :
如果这组数在基变换时的变换,符合 (5) 的变化规律,则称这组随着基改变的数,为 (p, q) 型混合张量。
这就 G.Ricci 最初引入张量概念时所下的定义。
再进一步观察发现,在 V 基给定下,每一个 (p, q) 型混合张量,都可以用 基和对偶基的乘积组:
进行线性表示,这说明 所有的 (p, q) 型混合张量 构成一个线性空间,那么这个线性空间是什么?
考虑:
与一阶逆变张量是 V 中的向量类似,一阶协变张量是 V* 中的元素,于是 一阶协变张量就是线性函数 f: V → K;
一阶逆变张量是 V 中的向量,而 V 就是 V**,于是 一阶协变张量就是线性函数 f: V* → K;
受此启发,可以证明:(p, q) 型混合张量,就是多元线性函数 V* × ... × V* × V × ... × V → K (p 个 V*, q 个 V)。所有多元函数组成的集合记为 L(V*, ..., V*, V , ..., V ; K),可以证明 L(V*, ..., V*, V , ..., V ; K) 是一个线性空间。定义,
它就是
ε_{i₁}ε_{i₂}...ε_{i_p}ε^{j₁}ε^{j₂}...ε^{j_q}
在 L(V*, ..., V*, V , ..., V ; K) 中对应的基。
注:多元线性函数的定义和 线性函数类似。于是,就有了第三种定义张量的方法:
称 一个 多元线性函数 V* × ... × V* × V × ... × V → K (p 个 V*, q 个 V)为 (p, q) 型混合张量。
最后,回到最初,我们知道 两个 向量 α, β 的乘积 是一个二阶逆变张量,而向量就是一阶逆变张量,于是这种乘积就是张量之间的乘积,称为张量积,为了明确用 ⊗ 表示。
对于 V 中任意两向量 α, β 的 都有张量积 α ⊗ β ,令 X 是所有这些 α ⊗ β 组成的集合。一开始我们提到的 向量 α, β 的乘积的缺陷问题导致 X 不能构成线性空间,但是 X 可以生产一个线性空间,记为 V ⊗ V ,称为 V 和 V 的张量积。
以上是从张量引入了张量积,其实数学上是脱张量,直接用范畴的语言定义张量积如下:
对于K 域上的线性空间 U, V, W ,如果 双线性映射 ψ : U × V → W , 对于 K 上的任意 线性空间 W' 以及线性映射 ψ' : U × V → W' 都存在 唯一的 线性映射 σ: W → W' 使得 ψ' = σψ 则称 (W, ψ) 为 从 U 到 V 的一个张量。
可以证明 (W, ψ) 在线性同构意义下唯一,于是令 U ⊗ V = W, u ⊗ v = ψ(u, v)。
于是,就有了张量的第四种定义:
称 张量积 V ⊗ ... ⊗ V ⊗ V* ⊗ ... ⊗ V* (p 个 V, q 个 V*)中的元素为 (p, q) 型混合张量。
第一种定义中的
在这里就是
就是说,第四种定义是对第一种定义的严谨化。
而 L(V*, ..., V*, V , ..., V ; K) 恰恰就是 一个 V ⊗ ... ⊗ V ⊗ V* ⊗ ... ⊗ V* 张量积,于是第四种定义和第三种定义保持一致。
(回答的篇幅已经很长了,所以有些非关键性的证明只能省略。另外,由于本人数学水平有限,出错在所难免,欢迎大家指正。)